Peigne de Dirac \(\textrm Ш_T\)
Distribution qui correspond à la somme des évaluations aux multiples entiers de \(T\) (version
périodisée de la
Distribution de Dirac) : $$\textrm Ш_T=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\delta_{nT}.$$
Pasted image 20241123142327.png|200- on a en écriture fonctionnelle : \(\textrm Ш_T(t)=\) \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\)
- décomposition en Série de Fourier : \(\textrm Ш_T(t)=\) \(\frac1T\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{2\pi jnt/T}\)
- Transformée de Fourier : \({\mathcal F}\{\textrm Ш_T\}=\) \(\frac1T\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\delta_{k/T}\)
- cela donne en écriture fonctionnelle : \({\mathcal F}\{\textrm Ш_T\}(f)=\frac1T\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(f-\frac kT)\)
- utile pour modéliser de façon théorique le processus d'échantillonnage : la multiplication \(x(t)\times\textrm Ш_T(t)\) permet de ne garder les valeurs de \(x(t)\) que pour les temps \(t\) multiples de la période \(T\)
- permet aussi de définir la Transformée de Fourier de signaux périodiques : $${\mathcal F}\{x(t)\}=\frac1T\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_T\left(\frac kT\right)\delta\left( f-\frac kT\right)$$avec \(X_T(f)\) la Transformée de Fourier de \(x_T(t)\), restriction de \(x(t)\) à une seule période
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